Optimización: Explorando el Método de Lagrange.

 En la economía neoclásica, se sostiene que tanto los consumidores como las empresas actúan de manera racional, buscando maximizar sus beneficios. Para los consumidores, esto implica obtener mayor satisfacción posible con los bienes y servicios que consumen, mientras que para las empresas significa maximizar sus ganancias. Sin embargo, tanto las personas como las empresas tienen necesidades ilimitadas, pero sólo existen recursos finitos para satisfacer esas necesidades. Los consumidores tienen ingresos limitados para adquirir bienes y servicios, mientras que las empresas disponen de recursos limitados, como tierra, capital y trabajo, para producir sus productos. Estos recursos limitados imponen restricciones, y el desafío radica en cómo lograr la máxima satisfacción o beneficio dentro de estas limitaciones. Además, las empresas enfrentan el desafío de minimizar los costos de producción mientras alcanzan los niveles de producción deseados.  

“El método de los multiplicadores de Lagrange es una herramienta eficaz, que permite resolver problemas de optimización a través de una implementación sencilla”. (Barrera Luna & Escuela Politécnica Nacional, 2020). Fue desarrollado por el matemático italiano Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) a finales del siglo XVIII y ha sido ampliamente aplicado en diversos campos, incluyendo la física, la economía, la ingeniería y las ciencias de la computación.

“Los multiplicadores de Lagrange en los problemas de optimización, son un método utilizado para maximizar o minimizar una función de varias variables que está sujeta a ciertas restricciones. Este método sirve para trasformar un problema restringido con variables a uno sin restricciones de variables, siendo el número de restricciones, y cuyas ecuaciones se pueden resolver con mayor facilidad.

Este método introduce una nueva variable escalar desconocida llamada “Multiplicador de Lagrange”, por cada una de las restricciones, formando una combinación lineal que involucra los multiplicadores como coeficiente. Su demostración involucra derivadas parciales. El objetivo es usando una función implícita, encontrar las condiciones para que la derivada con respecto a las variables independientes de la función sea cero”. (Barrera Luna & Escuela Politécnica Nacional, 2020).

La función Lagrangiana se utiliza para incorporar las restricciones en la función objetivo mediante la introducción de multiplicadores de Lagrange, que representan la tasa de cambio en la función objetivo relativa al cambio en las restricciones. En economía, los multiplicadores de Lagrange, representados por la letra griega lambda (λ), se utilizan para capturar la utilidad marginal o el valor del cambio en la función objetivo debido a una unidad adicional de restricción.

En conclusión, el método de los multiplicadores de Lagrange emerge como una herramienta poderosa en el ámbito de la microeconomía. Al permitir la resolución de problemas de optimización con restricciones, este método ofrece una vía clara y eficaz para maximizar la utilidad del consumidor y los beneficios empresariales. La capacidad de incorporar restricciones presupuestarias, costos de producción y otras limitaciones proporciona a los agentes económicos una guía valiosa para la toma de decisiones informadas y estratégicas. En última instancia, el estudio y la aplicación del método de los multiplicadores de Lagrange en microeconomía son fundamentales para comprender y abordar los desafíos económicos contemporáneos en un entorno de recursos limitados.

Para una comprensión más visual y práctica del método de los multiplicadores de Lagrange, les comparto 2 videos que muestran cómo resolver ejercicios utilizando este método. Este recurso audiovisual complementará nuestra discusión teórica y les proporcionará una base para aplicar estos conceptos en la práctica. ¡Espero que les sea útil!

Bibliografía

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL. (2020). DESARROLLO DE UN PROGRAMA PARA RESOLVER DESPACHO ECONÓMICO Y DESPACHO ECONÓMICO AMBIENTAL UTILIZANDO MULTIPLICADORES DE LAGRANGE, CONSIDERANDO LAS PÉRDIDAS DEL SISTEMA [TRABAJO DE TITULACIÓN PREVIO A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE INGENIERO EN INGENIERÍA ELÉCTRICA, FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA]. https://bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/21194/1/CD%2010710.pdf

Pindyck, R. S., & Rubinfeld, D. L. (2013). Microeconomía (8ª ed.). Pearson Educación.

Pulido Castrillón, Álvaro Andrés, "Microeconomía del equilibrio general" (2021). Administración y economía. 4. https://ciencia.lasalle.edu.co/edunisalle_administracion-economia/4

CEPA FHA. (2020, 18 marzo). CLASE MICROECONOMÍA: MAXIMIZACIÓN DE UTILIDAD POR EL METODO LAGRANGIANO [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=KEG9O-d4h6o

Centro Matemático Ricardo Araya. (2018, abril 17). Multiplicador de Lagrange aplicado economía , ejemplo 1 [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=Hzr-VXBNqmU